Discuter de ce qui sépare les méthodes des éléments finis, des différences finies et des volumes finis les unes des autres en termes de simulation et d'analyse.
1. Comment définiriez-vous la méthode des éléments finis ?
La méthode des éléments finis est une méthode de calcul qui subdivise un modèle CAO en éléments très petits mais de taille finie de formes géométriquement simples. L'ensemble de toutes ces formes simples constitue le maillage dit aux éléments finis.
L'étape suivante consiste à prendre un système d'équations de champ, représenté mathématiquement par des équations aux dérivées partielles (EDP) qui décrivent la physique qui vous intéresse, et à formuler ces équations pour chaque élément. Ceci est géré en rapprochant les champs au sein de chaque élément comme une fonction simple, telle qu'un polynôme linéaire ou quadratique, avec un nombre fini de degrés de liberté (DOF). Cela donne une description locale approximative de la physique par un ensemble d'équations linéaires simples (mais parfois non linéaires). Lorsque les contributions de tous les éléments sont assemblées, vous obtenez un grand système d'équations matricielles éparses qui peut être résolu par l'un des nombreux solveurs de matrices éparses bien connus.
Le type de solveur utilisé dépend de la physique d'origine, puisque chaque type de physique donne son empreinte unique sur la structure de la matrice. Pour accélérer les choses, cette structure est exploitée en utilisant une méthode numérique adaptée. Une méthode peut convenir à la mécanique des structures mais pas à l'électromagnétisme, et vice versa. Historiquement, la méthode a d'abord été appliquée à l'analyse structurelle. Depuis une dizaine d'années, on s'est rendu compte que la méthode des éléments finis est également adaptée à une large classe de problèmes multi-physiques.
2. Comment définiriez-vous la méthode des différences finies ?
La méthode des différences finies est l'approche la plus directe pour discrétiser les équations aux dérivées partielles. Vous considérez un point dans l'espace où vous prenez la représentation continue des équations et la remplacez par un ensemble d'équations discrètes, appelées équations aux différences finies. La méthode aux différences finies est généralement définie sur une grille régulière et ce fait peut être utilisé pour des méthodes de résolution très efficaces. La méthode n'est donc généralement pas utilisée pour des géométries CAO irrégulières, mais plus souvent pour des modèles rectangulaires ou en forme de bloc.
Il existe un lien avec la méthode des éléments finis : Certaines formulations de la méthode des éléments finis définies sur un maillage régulier sont identiques à une méthode aux différences finies sur le même maillage. Les grilles régulières peuvent souvent être utilisées dans des simulations météorologiques, sismologiques et astrophysiques, par exemple.
3. Comment définiriez-vous la méthode des volumes finis ?
La méthode des volumes finis est similaire à la méthode des éléments finis en ce que le modèle CAO est d'abord divisé en éléments très petits mais de taille finie de formes géométriquement simples. En dehors de cela, la méthode des volumes finis est très différente de la méthode des éléments finis, à commencer par le concept d'éléments, qui sont plutôt appelés cellules.
La méthode des volumes finis est basée sur le fait que de nombreuses lois physiques sont des lois de conservation - ce qui entre dans une cellule d'un côté doit quitter la même cellule de l'autre côté. En suivant cette idée, vous obtenez une formulation qui consiste en des équations de conservation de flux définies dans un sens moyenné sur les cellules. Historiquement, cette méthode a été très efficace pour résoudre les problèmes d'écoulement de fluide
4. Quelles sont les principales différences entre les trois méthodes ?
Chaque méthode est assez similaire en ce qu'elle représente une méthode numérique systématique pour résoudre les EDP. Une différence importante est la facilité de mise en œuvre. Une opinion commune est que la méthode des différences finies est la plus facile à mettre en œuvre et la méthode des éléments finis la plus difficile. Une des raisons à cela peut être que la méthode des éléments finis nécessite des mathématiques assez sophistiquées pour sa formulation.
5. Méthode des éléments finis : avantages et inconvénients
L'une des raisons du succès de la méthode des éléments finis dans l'analyse multi-physique est qu'il s'agit d'une méthode très générale. La résolution des systèmes d'équations résultants est identique ou très similaire aux méthodes bien connues et efficaces utilisées pour l'analyse structurelle et électromagnétique. Une autre raison du succès de la méthode est qu'elle permet « d'augmenter facilement l'ordre des éléments » afin que les champs physiques puissent être approximés très précisément. Cela correspond généralement à une approximation locale des champs de physique avec des polynômes d'« ordre supérieur », tels que des polynômes de deuxième et troisième degrés, ou plus. Cette technique est souvent critique, par exemple, dans le cas d'une analyse précise des contraintes.
Si l'on considère l'exemple de l'analyse des contraintes, il est assez fréquent qu'il existe des concentrations de contraintes importantes à proximité de certains coins d'une pièce mécanique. Dans ce cas, la méthode des éléments finis permet deux manières différentes d'augmenter la précision de la solution autour de ce coin. Une façon consiste à augmenter l'ordre des éléments, comme décrit précédemment. Une autre méthode consiste à raffiner localement le maillage près de ce coin ; la densité d'éléments augmente localement. Plus le maillage est fin (c'est-à-dire plus d'éléments), plus l'approximation est précise pour le champ de contrainte autour du coin d'intérêt. Les deux techniques sont utilisées dans les logiciels d'éléments finis et sont souvent rendues automatiques du point de vue de l'utilisateur. C'est ce qu'on appelle le « raffinement de maillage adaptatif ».
Un autre avantage de la méthode des éléments finis, qui est particulièrement importante pour l'analyse multi-physique, est que vous pouvez combiner différents types de fonctions qui approchent la solution au sein de chaque élément. C'est ce qu'on appelle des formulations mixtes. Ceci est important, par exemple, dans le cas d'un chauffage électromagnétique. La physique et les mathématiques nécessitent un type de fonction pour le champ électromagnétique et un autre type de fonction pour le transfert de chaleur ; ils doivent tous les deux être étroitement couplés pour obtenir une solution précise et pour que la solution converge. Les formulations mixtes sont simples à manipuler avec la méthode des éléments finis, mais difficiles ou impossibles avec d'autres méthodes.
Les avantages de la méthode des éléments finis et de la méthode des volumes finis sont que les géométries CAO courbes et irrégulières sont traitées de manière naturelle.
Cependant, les mathématiques derrière la méthode des éléments finis sont assez avancées et la méthode nécessite donc une expertise mathématique pour sa mise en œuvre. Les implémentations des méthodes aux différences finies et aux volumes finis sont relativement simples.
Pour certaines simulations dépendantes du temps, on a besoin d'utiliser des solveurs dits explicites pour des raisons d'efficacité. La mise en œuvre de telles techniques de solveur est plus difficile pour la méthode des éléments finis que pour les méthodes aux différences finies et aux volumes finis. Cependant, cela a été commercialisé avec succès dans certains cas, comme dans les simulations de crash.
6. Méthode des différences finies : avantages et inconvénients
La méthode des différences finies est définie dimension par dimension ; cela facilite l'augmentation de « l'ordre des éléments » pour obtenir une précision d'ordre supérieur. Si vous pouvez adapter la simulation dans une géométrie rectangulaire ou en forme de boîte à l'aide d'une grille régulière, les implémentations efficaces sont beaucoup plus faciles que pour les méthodes par éléments finis et volumes finis. Les grilles régulières sont utiles pour des simulations à très grande échelle sur des superordinateurs souvent utilisés dans, comme mentionné précédemment, des simulations météorologiques, sismologiques et astrophysiques.
Avec la méthode des différences finies, vous pouvez facilement rencontrer des problèmes de gestion des limites courbes dans le but de définir les conditions aux limites. Des conditions aux limites sont nécessaires pour tronquer le domaine de calcul. Ils représentent la communication avec le monde environnant, qui est la partie que vous ne voulez pas inclure dans votre simulation. Si l'on peut surmonter le problème des conditions aux limites sur les limites courbes, la méthode donne des résultats très efficaces et de haute qualité.
Pour les calculs qui nécessitent une grande précision, l'effort supplémentaire pour créer des maillages ajustés aux limites et les complications associées à de tels maillages pour la mise en œuvre peuvent en valoir la peine. Les exemples incluent les simulations de dynamique des fluides (CFD) de voiture de Formule 1 et les simulations de CFD de navette spatiale. La méthode des différences finies est plus difficile à utiliser pour gérer les discontinuités matérielles. De plus, il ne se prête pas au raffinement local de la grille ou à quelque chose de similaire au « raffinement adaptatif du maillage ». Cela peut être nécessaire pour résoudre les variations rapides locales des solutions, comme autour d'un coin d'une forme complexe, comme décrit précédemment.
7. Méthode des volumes finis : avantages et inconvénients
La méthode des volumes finis est un choix naturel pour les problèmes de CFD, puisque les équations aux dérivées partielles que vous devez résoudre pour la CFD sont des lois de conservation. Cependant, les différences finies et les éléments finis peuvent également être utilisés pour la CFD. Une technologie efficace pour la CFD avec la méthode des éléments finis est devenue de plus en plus populaire au cours des 10 à 15 dernières années. Les techniques de CFD avec la méthode des différences finies et des volumes finis sont connues et utilisées depuis bien plus longtemps.
La force de la méthode des volumes finis est qu'elle n'a besoin que d'évaluer le flux pour les limites des cellules. Cela vaut également pour les problèmes non linéaires, ce qui le rend très puissant pour une gestion robuste des lois de conservation (non linéaires) apparaissant dans les problèmes de transport.
La précision locale de la méthode des volumes finis, par exemple près d'un coin d'intérêt, peut être augmentée en affinant le maillage autour de ce coin, de la même manière que la méthode des éléments finis. Cependant, les fonctions qui approchent la solution lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis ne peuvent pas être facilement rendues d'un ordre supérieur. Ceci est un inconvénient de la méthode des volumes finis par rapport aux méthodes des éléments finis et des différences finies.
8. Quels sont les principaux exemples de chacun ?
Méthode par éléments finis : toutes sortes d'analyses structurelles, transfert de chaleur, génie chimique, électromagnétisme (y compris électrostatique, magnétostatique, électromagnétisme basse fréquence et ondes électromagnétiques haute fréquence dans le domaine fréquentiel), multiphysique et CFD.
Méthode des différences finies : calculs météorologiques, astrophysique, sismologie, réalisme physique en infographie et effets spéciaux.
Méthode des volumes finis : CFD, transfert de chaleur et génie chimique.
9. Quelle méthode est la plus couramment utilisée dans les logiciels d'analyse et de simulation d'aujourd'hui ?
Toutes ces méthodes sont aujourd'hui fréquemment utilisées dans les logiciels commerciaux, ainsi que dans les environnements académiques. La méthode des éléments finis est généralement la plus exigeante pour un système informatique, mais cela dépend du type d'analyse.
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